Approximation d'un taux moyen

Partie A   Un exemple

La population d'une ville A est en forte croissance démographique. Elle a augmenté en 2020 de $40\mathrm{\%}$ puis de nouveau de $40\mathrm{\%}$ en 2021.

La population de la ville B a très peu évolué. Les statistiques montrent en effet qu'elle a augmenté de $0,8\mathrm{\%}$ par an en 2020 ainsi qu'en 2021.

1. Calculer pour chaque ville, le taux d'évolution global de la population pendant les années 2020 et 2021.

2. Est-il possible d'écrire $2\times 40\mathrm{\%}\simeq 80\mathrm{\%}$ ? Justifier.

3. a. Calculer le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $1,6\mathrm{\%}$ .

    b. Peut-on écrire $2\times 0,8\mathrm{\%}\simeq 1,6\mathrm{\%}$ ?

Partie B   Approximation de $(1+T{)}^2$

1. Développer $(1+x{)}^2-(1+2x)$ .

2. Compléter le tableau suivant.

$\begin{array}{|cccc|}\hline T& (1+T{)}^2& 1+2T& T^2\\ \mathrm{0,000}1& ...& ...& ...\\ 0,01& ...& ...& ...\\ 0,03& ...& ...& ...\\ 0,04& ...& ...& ...\\ 1& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...\\ \hline\end{array}$

3. Que permet de calculer la dernière colonne de ce tableau ?

4. Une quantité subit deux augmentations successives de $3\mathrm{\%}$ . Calculer mentalement une valeur approchée de l'augmentation globale.

Point info

Il est possible de montrer que si  $T$ est proche de zéro, alors pour tout entier naturel $n$  non nul :

$(1+T{)}^n\simeq 1+nT$ ; $(1-T{)}^n\simeq 1-nT$  ;

$(1+T{)}^{\frac{1}{n}}\simeq 1+\frac{1}{n}T$  ; $(1-T{)}^{\frac{1}{n}}\simeq 1-\frac{1}{n}T$ .